Признак называется дискретно варьируемым, если его отдельные значения (варианты) отличаются друг от друга на некоторую конечную величину (обычно целое число). Вариационный ряд такого признака называется дискретным вариационным рядом.

Числовые характеристики вариационного ряда

Числовые характеристики вариационных рядов вычисляют по данным, полученным в результате наблюдений (статистическим данным), поэтому их называют также статистическими характеристиками или оценками. На практике часто оказывается достаточным знание сводных характеристик вариационных рядов: средних или характеристик положения (центральной тенденции); характеристик рассеяния или вариации (изменчивости); характеристик формы (асимметрии и крутости распределения).

Средняя арифметическая характеризует значения признака, вокруг которого концентрируются наблюдения, т.е. центральную тенденцию распределения.

Достоинство медианы как меры центральной тенденции заключается в том, что на нее не влияет изменение крайних членов вариационного ряда, если любой из них, меньший медианы, остается меньше ее, а любой, больший медианы, продолжает быть большее ее. Медиана предпочтительнее средней арифметической для ряда, у которого крайние варианты по сравнению с остальными оказались чрезмерно большими или малыми. Особенность моды как меры центральной тенденции заключается в том, что она также не изменяется при изменении крайних членов ряда, т.е. обладает определенной

Характеристики поло

Среднее арифметическое (выборочное среднее)

xв=i=1nmixin

Мода

Mo = xj, если mj = mmax

Me = xk+1, если n = 2k+1;

Me = (xk + xk+1)/2, если n = 2k

Характеристики рассеяния

Выборочная дисперсия

Dв=i=1nmixixв2n

Выборочное среднее квадратичное отклонение

σв=Dв

Исправленная дисперсия

S2=nn1Dв

Исправленное среднее квадратичное отклонение

Коэффициент вариации

V=σвxв∙100%

Среднее абсолютное

отклонение

θ=i=1nmixixвn

Вариационный размах

R = xmax xmin

Квартильный размах

Rкв = Qв – Qн

Характеристики формы

Коэффициент асимметрии

As=i=1nmixixв3nσв3

Коэффициент эксцесса

Ek=i=1nmixixв4nσв43

устойчивостью к вариации признака. Но наибольший интерес представляют меры вариации (рассеяния) наблюдений вокруг средних величин, в частности, вокруг средней арифметической. К таким оценкам относятся выборочная дисперсия и среднее квадратичное отклонение . Выборочная дисперсия обладает одним существенным недостатком: если среднее арифметическое выражается в тех же единицах, что и значения случайной величины, то, согласно определению, дисперсия выражается уже в квадратных единицах. Этого недостатка можно избежать, если использовать в качестве меры вариации признака среднее квадратичное отклонение. При малых объемах выборки дисперсия является смещенной оценкой, поэтому при объемах n ≤30 используют исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратичное отклонение . Другой часто используемой характеристикой меры рассеяния признака является коэффициент вариации . Достоинством коэффициента вариации является то, что это безразмерная характеристика, позволяющая сравнивать варьирование несоизмеримых

вариационных рядов. Кроме того, чем меньше значение коэффициента вариации, тем однороднее совокупность по изучаемому признаку и типичнее средняя. Совокупности с коэффициентом вариации V > 3035% принято считать неоднородными.

Наряду с дисперсией используют и среднее абсолютное отклонение . Достоинством среднего линейного отклонения является его размерность, т.к. выражается в тех же единицах, что и значения случайной величины. Дополнительным и простым показателем рассеяния значений признака является квартильный размах. Квартильный размах включает в себя медиану и 50% наблюдений, отражающих центральную тенденцию признака, исключая наименьшие и наибольшие значения.

К характеристикам формы относят коэффициент асимметрии и эксцесс. Если коэффициент асимметрии равен нулю, то распределение имеет симметричную форму. Если распределение асимметрично, одна из ветвей полигона частот имеет более пологий спуск, чем другая. Если асимметрия правосторонняя, то справедливо неравенство: xв>Me>Mo, что означает преимущественное появление в распределении более высоких значений признака. Если асимметрия левосторонняя, то выполняется неравенство: xв, означающее, что в распределении чаще встречаются более низкие значения. Чем больше значение коэффициента асимметрии, тем более асимметрично распределение (до 0,25 асимметрия незначительная; от 0,25 до 0,5 умеренная; свыше 0,5 – существенная).

Эксцесс является показателем крутости (островершинности) вариационного ряда по сравнению с нормальным распределением. Если эксцесс положителен, то полигон вариационного ряда имеет более крутую вершину. Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественном появлении в данных значений, близких к средней величине. Если эксцесс отрицателен то полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от минимального до максимального значения. Чем больше абсолютная величина эксцесса, тем существеннее распределение отличается от нормального.

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Эта тема принадлежит разделу:

Поверхностное пластическое деформирование (ППД)

Шпаргалки на экзамен. Детали машин, методы поверхностного пластического деформирования (ППД). Ответы

К данному материалу относятся разделы:

Явления, происходящие в поверхностном слое детали при обработке ППД, механизм упрочнения

Качество поверхности, получаемое при обкатывании роликовым инструментом. Схема процесса, величина давления, кратность приложения деформирующей силы, технологическая оснастка в процессах обкатывания шаровым инструментом.

Качество поверхности, получаемое при обкатывании шаровым инструментом. Схема процесса, величина давления, кратность приложения деформирующей силы, технологическая оснастка в процессах обкатывания шаровым инструментом.

Формообразование микропрофиля поверхности при обработке скользящим индентором, его назначение, технологическая оснастка в процессах вибрациионной упрочняющей обработки, область применения.

Формообразование микропрофиля поверхности при обработке вращающимся индентором, его назначение, технологическая оснастка в процессах вибрационной упрочняющей обработки, область применения.

Какое влияние оказывает угол сетки рисок абразивных зерен бруска на производительность процесса и качество обрабатываемой поверхности при суперфинишировании? Как настроить технологическую оснастку на получение определенного угла сетки рисок?

Как обеспечить получение системы параллельных каналов и правильную сетку каналов при обработке скользящим индентором в процессах ППД? Сравнительная характеристика этих сеток каналов и их влияние на эксплуатационные свойства поверхностей деталей машин.

Какими технологическими методами обеспечивается качество поверхностного слоя детали на отделочном этапе обработки? Приведите их сравнительную характеристику. Критерии выбора определенного метода для решения конкретной технической задачи.

Виброударная обработка, сущность процесса, область применения, технологическое оснащение.

Суперфиниширование, сущность процесса, область применения. Выбор размеров, способа крепления брусков и их правки в процессах суперфиниширования.

Классификация методов поверхностного пластического деформирования (ППД), сравнительная характеристика и особенности их применения. Технологическое оснащение процессов ППД.

Объясните термины: опорная длина профиля, опорная кривая профиля поверхности, приведите примеры микрогеометрии поверхностей, полученные различными технологическими методами и методику оценки их несущей способности.

Жесткий и упругий контакт в процессах ППД, и его технологическое обеспечение. Влияние вида контакта на качество поверхностного слоя.

Почему для повышения эксплуатационных параметров деталей применяют вибрационное пластическое деформирование? Сравните его с традиционными методами обкатывания и выглаживания без вибраций. Характеристика технологического оснащения этих сравниваемых методов

Явления, происходящие в поверхностном слое детали при обработке ППД, механизм формирования остаточных напряжений.

Поверхностное и объемное дорнование отверстий, сущность процесса,область применения, технологическое обеспечение дорнования.

Сравнительная характеристика методов шлифования: скоростное; силовое; совмещенное; интегральное; упрочняющее.

Понятие эксперимента. Ошибки измерений: промахи, систематические, случайные. Похожие материалы:

Особенности изучения темы «Алгоритмы» в начальной школе с применение компьютерных обучающих программ

Курсовая работа направление подготовки Педагогическое образование. Цель данной работы состоит в том, чтобы выявить и доказать необходимость и эффективность изучения алгоритмизации в начальной школе с применением компьютерных обучающих программ.

Топографічні карти універсального призначення

Реферат. Топографічні фотокарти суші та акваторії. Зарубіжні топографічні карти

Эстетика (Аристотель и Платон)

Аристотель, теории мимезиса, принцип соразмерности человека и прекрасного. Музыкальная эстетика, пифагорейская эстетика, Музыкально-математическая гармония. Идеалистическая эстетика Платона

Система применения удобрения в севообороте

Курсовой проект агрономического факультета. Кафедра агрохимии и почвоведения

Энергоэффективность в строительстве. Тепловая сушка

Часть курсового проекта. Тепловая экономичность сушильных установок. Воздушные завесы.

Характеристики рассеяния

Меры разброса выборки.

Минимум и максимум выборки - это соответственно наименьшее и наибольшее значение изучаемой переменной. Разность между максимумом и минимумом называется размахом выборки. Все данные выборки расположены в промежутке между минимумом и максимумом. Эти показатели как бы очерчивают границы выборки.

R№1= 15,6-10=5,6

R №2 =0,85-0,6=0,25

Дисперсия выборки (англ. variance ) и среднее квадратическое отклонение выборки (англ. standard deviation ) являют собой меру изменчивости переменной и характеризуют степень разброса данных вокруг центра. При этом среднее квадратическое отклонение является более удобным показателем в силу того, что имеет ту же размерность, что и собственно исследуемые данные. Поэтому показатель среднего квадратического отклонения используется наряду со значением среднего арифметического выборки для короткого описания результатов анализа данных.

Выборочную дисперсию при целесообразнее считать по формуле:

Стандартное отклонение считается по формуле:

Коэффициент вариации является относительной мерой рассеяния признака.

Коэффициент вариации используется и как показатель однородности выборочных наблюдений. Считается, что если коэффициент вариации не превышает 10 %, то выборку можно считать однородной, т. е. полученной из одной генеральной совокупности.

Т. к. коэффициент вариации в обеих выборках, то они являются однородными.

Выборку можно представить аналитически в виде функции распределения, а так же в виде таблицы частот, состоящей из двух строк. В верхней строке- элементы выборки (варианты), расположенные в порядке возрастания; в нижней строке записываются частоты вариант.

Частота варианты - число, равное количеству повторений данной варианты в выборке.

Выборка №1 «Матери»

Вид кривой распределения

Асимметрия или коэффициент асимметрии (термин был впервые введен Пирсоном, 1895) является мерой несимметричности распределения. Если асимметрия отчетливо отличается от 0, распределение асимметричное, плотность нормального распределения симметрична относительно среднего.

Показатель асимметрии (англ. skewness ) используется для того, чтобы охарактеризовать степень симметричности распределения данных вокруг центра. Асимметрия может принимать как отрицательные, так и положительные значения. Положительное значение данного параметра указывает на то, что данные смещены влево от центра, отрицательное - вправо. Таким образом, знак показателя асимметрии указывает на направление смещения данных, тогда как величина - на степень этого смещения. Асимметрия равная нулю говорит о том, что данные симметрично сконцентрированы вокруг центра.

Т.к. асимметрия положительная, следовательно, вершина кривой сдвигается влево от центра.

Коэффициент эксцесса (англ. kurtosis ) является характеристикой того, насколько кучно основная масса данных группируется около центра.

При положительном эксцессе - кривая заостряется, при отрицательном - сглаживается.

Кривая сглаживается;

Кривая заостряется.

Для математико-статистического анализа результатов выборки знать только характеристики положения недостаточно. Одна и та же величина среднего значе­ния может характеризовать совершенно различные выборки.

Поэтому кроме них в статистике рассматривают также характеристики рассеяния (вариации, или колеблемости ) результатов .

1. Размах вариации

Определение. Размахом вариации называется разница между наибольшим и наименьшим результатами выборки, обозначается R и определяется

R =X max - X min .

Информативность этого показателя невелика, хотя при малых объёмах вы­борки по размаху легко оценить разницу между лучшим и худшим результатами спортсменов.

2. Дисперсия

Определение. Дисперсией называется средний квадрат отклонения значений признака от среднего арифметического.

Для несгруппированных данных дисперсия определяется по формуле

где Х i – значение признака, - среднее арифметическое.

Для данных, сгруппированных в интервалы, дисперсия определяется по формуле

,

где х i – среднее значение i интервала группировки, n i – частоты интервалов.

Для упрощения расчётов и во избежание погрешностей вычисления при округ­лении результатов (особенно при увеличении объёма выборки) используются также другие формулы для определения дисперсии. Если среднее арифметическое уже вычислено, то для несгруппированных данных используется следующая фор­мула:

 2 =
,

для сгруппированных данных:

.

Эти формулы получаются из предыдущих раскрытием квадрата разности под знаком суммы.

В тех случаях, когда среднее арифметическое и дисперсия вычисляются од­новременно, используются формулы:

для несгруппированных данных:

 2 =
,

для сгруппированных данных:

.

3. Среднее квадратическое (стандартное ) отклонение

Определение. Среднее квадратическое (стандартное ) отклонение характе­ризует степень отклонения результатов от среднего значения в абсолютных единицах, т. к. в отличие от дисперсии имеет те же единицы измерения, что и результаты измерения. Иначе говоря, стандартное отклонение показывает плотность распределения результатов в группе около среднего значения, или однородность группы.

Для несгруппированных данных стандартное отклонение можно определить по формулам

 =
,

 =
или =
.

Для данных, сгруппированных в интервалы, стандартное отклонение определяется по формулам:

,

или
.

4. Ошибка средней арифметической (ошибка средней)

Ошибка средней арифметической характеризует колеблемость средней и вычисляется по формуле:

.

Как видно из формулы, с увеличением объёма выборки ошибка средней уменьшается пропорционально корню квадратному из объёма выборки.

5. Коэффициент вариации

Коэффициент вариации определяется как отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому, выраженное в процентах:

.

Считается, что если коэффициент вариации не превышает 10 %, то выборку можно считать однородной, то есть полученной из одной генеральной совокупности.