Иррациональных неравенств формулы. Иррациональные неравенства. Теория и примеры. Сбор и использование персональной информации

Т.Д. Иванова

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ

ЦДО и НИТ СРПТЛ

УДК 511 (О75.3)

ББК 22. 1Я72

Составитель Т.Д.Иванова

Рецензент: Баишева М.И.– Кандидат педагогических наук, доцент кафедры

математического анализа математического факультета

Института математики и информатики Якутского

государственного университета

Методы решения иррациональных неравенств: Методическое пособие

М 34 для учащихся 9-11 классов /сост. Иванова Т.Д. с Сунтар Сунтарского улуса

РС(Я): ЦДО НИТ СРПТЛ, 2007, – 56 с.

Пособие адресовано старшеклассникам средней общеобразовательной школы, а также поступающим в вузы как методическое руководство по решению иррациональных неравенств. В пособии подробно разобраны основные методы решения иррациональных неравенств, приведены примеры решения иррациональных неравенств с параметрами, а также предложены примеры для самостоятельного решения. Учителя могут использовать пособие как дидактический материал для проведения самостоятельных работ, при обзорном повторении темы «Иррациональные неравенства».

В пособии отражён опыт работы учителя по изучению с учащимися темы «Иррациональные неравенства».

Задачи взяты из материалов вступительных экзаменов, методических газет и журналов, учебных пособий, перечень которых приведён в конце пособия

УДК 511 (О75.3)

ББК 22. 1Я72

 Т.Д.Иванова, сост.,2006.

 ЦДО НИТ СРПТЛ,2007.

Предисловие 5

Введение 6

Раздел I.Примеры решения простейших иррациональных неравенств 7

Раздел II.Неравенства вида
>g(x), g(x), g(x) 9

Раздел III. Неравенства вида
;
;

;
13

Раздел IV. Неравенства, содержащие несколько корней чётной степени 16

Раздел V. Метод замены (введение новой переменной) 20

Раздел VI. Неравенства вида f(x)
0; f(x)0;

Раздел VII. Неравенства вида
25

Раздел VIII. Использование преобразований подкоренного выражения

в иррациональных неравенствах 26

Раздел IX. Графическое решение иррациональных неравенств 27

Раздел X. Неравенства смешанного типа 31

Раздел ХI. Использование свойства монотонности функции 41

Раздел ХII. Метод замены функции 43

Раздел ХIII. Примеры решения неравенств непосредственно

методом интервалов 45

Раздел XIV. Примеры решения иррациональных неравенств с параметрами 46

Литература 56

РЕЦЕНЗИЯ

Данное методическое пособие предназначено для учащихся 10-11 классов. Как показывает практика, учащиеся школ, абитуриенты испытывают особые затруднения при решении иррациональных неравенств. Это связано с тем, что в школьной математике этот раздел рассматривается недостаточно, не рассматриваются, более расширенно, различные методы решения таких неравенств. Также учителя школ ощущают нехватку методической литературы, которая проявляется в ограниченном количестве задачного материала с указанием различных подходов, методов решения.

В пособии рассмотрено методы решения иррациональных неравенств. Иванова Т.Д. в начале каждого раздела знакомит учащихся с основной идеей метода, затем показываются примеры с объяснениями, а также предлагаются задачи для самостоятельного решения.

Составитель использует наиболее «эффектные» методы решения иррациональных неравенств, которые встречаются при поступлении в высшие учебные заведения с повышенными требованиями к знаниям учащихся.

Учащиеся, ознакомившись с данным пособием, могут приобрести неоценимый опыт и навык решения сложных иррациональных неравенств. Считаю, что данное пособие также будет полезно учителям математики, работающих в профильных классах, а также разработчикам элективных курсов.

Кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа математического факультета Института математики и информатики Якутского государственного университета

Баишева М.И.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пособие адресовано старшеклассникам средней общеобразовательной школы, а также поступающим в вузы как методическое руководство по решению иррациональных неравенств. В пособии подробно разобраны основные методы решения иррациональных неравенств, даны примерные образцы оформления решения иррациональных неравенств, приведены примеры решения иррациональных неравенств с параметрами, а также предложены примеры для самостоятельного решения, для некоторых из них даны краткие ответы и указания.

При разборе примеров, самостоятельного решения неравенств, предполагается, что учащийся умеет решать линейные, квадратные и другие неравенства, владеет различными методами решения неравенств, в частности, методом интервалов. Предлагается решить неравенство несколькими способами.

Учителя могут использовать пособие как дидактический материал для проведения самостоятельных работ, при обзорном повторении темы «Иррациональные неравенства».

В пособии отражён опыт работы учителя по изучению с учащимися темы «Иррациональные неравенства».

Задачи подобраны из материалов вступительных экзаменов в высшие учебные заведения, методических газет и журналов по математике «Первое сентября», «Математика в школе», «Квант", учебных пособий, перечень которых приведён в конце пособия.

ВВЕДЕНИЕ

Иррациональными называют неравенства, в которые переменные или функция от переменной входят под знаком корня.

Основным стандартным методом решения иррациональных неравенств является последовательное возведение обеих частей неравенства в степень с целью освобождения от корня. Но эта операция часто приводит к появлению посторонних корней или, даже, к потере корней, т.е. приводит к неравенству, неравносильному исходному. Поэтому, надо очень тщательно следить за равносильностью преобразований и рассматривать только те значения переменной, при которых неравенство имеет смысл:

если корень четной степени, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным и значение корня тоже неотрицательное число.

если корень степени - нечётное число, то подкоренное выражение может принимать любое действительное число и знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

возводить в чётную степень обе части неравенства можно только, предварительно убедившись в их неотрицательности;

возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечётную степень всегда является равносильным преобразованием.

Раздел I . Примеры решения простейших иррациональных неравенств

Примеры 1- 6:

Решение:

1. а)
.

б)
.

2. а)

б)

3. а)
.

б)
.

4. а)

б)

5. а)
.

б)

6. а)
.

б)
.

7.

8. а)
.

б)

9. а)
.

б)

11.

12. Найдите наименьшее целое положительное значение х, удовлетворяющее неравенству

13. а) Найдите середину промежутка решения неравенства

б) Найдите среднее арифметическое всех целых значений х, при которых неравенство имеет решение 4

14. Найдите наименьшее отрицательное решение неравенства

15. а)
;

б)

Раздел II. Неравенства вида >g(x), g(x), g(x)

Аналогично, как и при решении примеров 1-4, рассуждаем при решении неравенств указанного вида.

Пример 7 : Решить неравенство
> х + 1

Решение: ОДЗ неравенства: х -3. Для правой части есть два возможных случая:

а) х + 10 (правая часть неотрицательна) или б) х + 1

Рассмотрим а) Если х +10, т.е. х - 1, то обе части неравенства неотрицательны. Возводим обе части в квадрат: х + 3 > х + 2х + 1. Получаем квадратное неравенство х + х – 2 x х - 1, получаем -1

Рассмотрим б) Если х +1 х х -3

Объединяя решения случая а) -1 и б) х -3, запишем ответ: х
.

Все рассуждения при решении примера 7 удобно записать так:

Исходное неравенство равносильно совокупности систем неравенств
.

х

Ответ: .

Рассуждения при решении неравенств вида

1.> g (x ); 2. g (x ); 3. g (x ); 4. g (x ) можно кратко записать в виде следующих схем:

I. > g (x )

2. g (x )

3. g (x )

4. g (x )
.

Пример 8 :
х.

Решение: Исходное неравенство равносильно системе

х>0

Ответ: х
.

Задачи для самостоятельного решения:

б)

б)
.

б)

б)

20. а)
x

б)

21. а)

Цели:

1. Общеобразовательная: систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения неравенств.
2. Развивающая: развивать у учащихся умение слушать лекцию, конспективно записывая ее в тетрадь.
3. Воспитательная: формировать познавательную мотивацию к изучению математики.

Ход урока

I. Вводная беседа:

Мы с вами закончили тему “Решение иррациональных уравнений” и сегодня начинаем учиться решать иррациональные неравенства.

Сначала давайте вспомним, какие виды неравенств вы умеете решать и какими методами?

Ответ : Линейные, квадратные, рациональные, тригонометрические. Линейные решаем, исходя из свойств неравенств, тригонометрические сводим к простейшим тригонометрическим, решаемым с помощью тригонометрического круга, а остальные, в основном, методом интервалов.

Вопрос : На каком утверждении основан метод интервалов?

Ответ : На теореме, утверждающей, что непрерывная функция, не обращающаяся в ноль на некотором интервале, сохраняет свой знак на этом интервале.

II. Давайте рассмотрим иррациональное неравенство типа >

Вопрос : Можно ли применить для его решения метод интервалов?

Ответ : Да, так как функция y = – непрерывна на D(y).

Решаем такое неравенство методом интервалов .

Вывод: мы довольно легко решили данное иррациональное неравенство методом интервалов, фактически сведя его к решению иррационального уравнения.

Давайте попробуем решить этим методом другое неравенство.

3) f(x) непрерывна на D(f)

4) Нули функции:

• Долго искать D(f).
• Трудно вычислять контрольные точки.

Возникает вопрос: “Нет ли других способов решения этого неравенства?”.

Очевидно, есть, и сейчас мы с вами с ними познакомимся.

III. Итак, тема сегодняшнего урока: “Методы решения иррациональных неравенств”.

Урок будет проходить в виде лекции, так как в учебнике нет подробного разбора всех методов. Поэтому наша важная задача: составить подробный конспект этой лекции.

IV. О первом методе решения иррациональных неравенств мы с вами уже поговорили.

Это – метод интервалов , универсальный метод решения всех типов неравенств. Но он не всегда приводит к цели коротким и простым путем.

V. При решении иррациональных неравенств можно использовать те же идеи, что и при решении иррациональных уравнений, но так как простая проверка решений невозможна (ведь решениями неравенств являются чаще всего целые числовые промежутки), то необходимо использовать равносильность.

Приведем схемы решения основных типов иррациональных неравенств методом равносильных переходов от одного неравенства к системе неравенств.

2. Аналогично доказывается, что

Запишем эти схемы на опорной доске. Над доказательствами 3 и 4 типа подумайте дома, на следующем уроке мы их обсудим.

VI. Решим новым способом неравенство.

Исходное неравенство равносильно совокупности систем.

VII. И существует еще третий метод, часто помогающий решать сложные иррациональные неравенства. Мы с вами о нем уже говорили применительно к неравенствам с модулем. Это метод замены функций (замены множителей) . Напомню вам, что суть метода замены заключается в том, что разность значений монотонных функций можно заменить разностью значений их аргументов.

Рассмотрим иррациональное неравенство вида <,

то есть – < 0.

По теореме, если p(x) возрастает на некоторм промежутке, которому принадлежат a и b , причем a >b , то неравенства p(a) – p(b ) > 0 и a – b > 0 равносильны на D(p) , то есть

VIII. Решим методом замены множителей неравенство.

Значит, данное неравенство равносильно системе

Таким образом, мы увидели, что применение метода замены множителей для сведения решения неравенства к методу интервалов существенно сокращает объем работы.

IX. Теперь, когда мы разобрали три основных метода решения уравнений, давайте выполним самостоятельную работу с самопроверкой.

Нужно выполнить следующие номера (по учебнику А. М. Мордковича): 1790(а) – решить_ методом_ равносильныхпереходов,_ 1791(а) – решить методом замены множителей.Для решения иррациональных неравенств предлагается использовать способы, ранее разобранные при решении иррациональных уравнений:

• замена переменных;
• использование ОДЗ;
• использование свойств монотонности функций.

Завершением изучения темы является контрольная работа.

Анализ контрольной работы показывает:

• типичные ошибки слабых учащихся помимо арифметических и алгебраических – неверные равносильные переходы к системе неравенств;
• метод замены множителей успешно используется только сильными учащимися.

Цели:

1. Общеобразовательная: систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения неравенств.
2. Развивающая: развивать у учащихся умение слушать лекцию, конспективно записывая ее в тетрадь.
3. Воспитательная: формировать познавательную мотивацию к изучению математики.

Ход урока

I. Вводная беседа:

Мы с вами закончили тему “Решение иррациональных уравнений” и сегодня начинаем учиться решать иррациональные неравенства.

Сначала давайте вспомним, какие виды неравенств вы умеете решать и какими методами?

Ответ : Линейные, квадратные, рациональные, тригонометрические. Линейные решаем, исходя из свойств неравенств, тригонометрические сводим к простейшим тригонометрическим, решаемым с помощью тригонометрического круга, а остальные, в основном, методом интервалов.

Вопрос : На каком утверждении основан метод интервалов?

Ответ : На теореме, утверждающей, что непрерывная функция, не обращающаяся в ноль на некотором интервале, сохраняет свой знак на этом интервале.

II. Давайте рассмотрим иррациональное неравенство типа >

Вопрос : Можно ли применить для его решения метод интервалов?

Ответ : Да, так как функция y = – непрерывна на D(y).

Решаем такое неравенство методом интервалов .

Вывод: мы довольно легко решили данное иррациональное неравенство методом интервалов, фактически сведя его к решению иррационального уравнения.

Давайте попробуем решить этим методом другое неравенство.

3) f(x) непрерывна на D(f)

4) Нули функции:

• Долго искать D(f).
• Трудно вычислять контрольные точки.

Возникает вопрос: “Нет ли других способов решения этого неравенства?”.

Очевидно, есть, и сейчас мы с вами с ними познакомимся.

III. Итак, тема сегодняшнего урока: “Методы решения иррациональных неравенств”.

Урок будет проходить в виде лекции, так как в учебнике нет подробного разбора всех методов. Поэтому наша важная задача: составить подробный конспект этой лекции.

IV. О первом методе решения иррациональных неравенств мы с вами уже поговорили.

Это – метод интервалов , универсальный метод решения всех типов неравенств. Но он не всегда приводит к цели коротким и простым путем.

V. При решении иррациональных неравенств можно использовать те же идеи, что и при решении иррациональных уравнений, но так как простая проверка решений невозможна (ведь решениями неравенств являются чаще всего целые числовые промежутки), то необходимо использовать равносильность.

Приведем схемы решения основных типов иррациональных неравенств методом равносильных переходов от одного неравенства к системе неравенств.

2. Аналогично доказывается, что

Запишем эти схемы на опорной доске. Над доказательствами 3 и 4 типа подумайте дома, на следующем уроке мы их обсудим.

VI. Решим новым способом неравенство.

Исходное неравенство равносильно совокупности систем.

VII. И существует еще третий метод, часто помогающий решать сложные иррациональные неравенства. Мы с вами о нем уже говорили применительно к неравенствам с модулем. Это метод замены функций (замены множителей) . Напомню вам, что суть метода замены заключается в том, что разность значений монотонных функций можно заменить разностью значений их аргументов.

Рассмотрим иррациональное неравенство вида <,

то есть – < 0.

По теореме, если p(x) возрастает на некоторм промежутке, которому принадлежат a и b , причем a >b , то неравенства p(a) – p(b ) > 0 и a – b > 0 равносильны на D(p) , то есть

VIII. Решим методом замены множителей неравенство.

Значит, данное неравенство равносильно системе

Таким образом, мы увидели, что применение метода замены множителей для сведения решения неравенства к методу интервалов существенно сокращает объем работы.

IX. Теперь, когда мы разобрали три основных метода решения уравнений, давайте выполним самостоятельную работу с самопроверкой.

Нужно выполнить следующие номера (по учебнику А. М. Мордковича): 1790(а) – решить_ методом_ равносильныхпереходов,_ 1791(а) – решить методом замены множителей.Для решения иррациональных неравенств предлагается использовать способы, ранее разобранные при решении иррациональных уравнений:

• замена переменных;
• использование ОДЗ;
• использование свойств монотонности функций.

Завершением изучения темы является контрольная работа.

Анализ контрольной работы показывает:

• типичные ошибки слабых учащихся помимо арифметических и алгебраических – неверные равносильные переходы к системе неравенств;
• метод замены множителей успешно используется только сильными учащимися.

Всякое неравенство, в состав которого входит функция, стоящая под корнем, называется иррациональным . Существует два типа таких неравенств:

В первом случае корень меньше функции g (x ), во втором - больше. Если g (x ) - константа , неравенство резко упрощается. Обратите внимание: внешне эти неравенства очень похожи, но схемы решения у них принципиально различаются.

Сегодня научимся решать иррациональные неравенства первого типа - они самые простые и понятные. Знак неравенства может быть строгим или нестрогим. Для них верно следующее утверждение:

Теорема. Всякое иррациональное неравенство вида

Равносильно системе неравенств:

Неслабо? Давайте рассмотрим, откуда берется такая система:

1. f (x ) ≤ g 2 (x ) - тут все понятно. Это исходное неравенство, возведенное в квадрат;
2. f (x ) ≥ 0 - это ОДЗ корня. Напомню: арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа;
3. g (x ) ≥ 0 - это область значений корня. Возводя неравенство в квадрат, мы сжигаем минусы. В результате могут возникнуть лишние корни. Неравенство g (x ) ≥ 0 отсекает их.

Многие ученики «зацикливаются» на первом неравенстве системы: f (x ) ≤ g 2 (x ) - и напрочь забывают два других. Результат предсказуем: неправильное решение, потерянные баллы.

Поскольку иррациональные неравенства - достаточно сложная тема, разберем сразу 4 примера. От элементарных до действительно сложных. Все задачи взяты из вступительных экзаменов МГУ им. М. В. Ломоносова.

Примеры решения задач

Задача. Решите неравенство:

Перед нами классическое иррациональное неравенство : f (x ) = 2x + 3; g (x ) = 2 - константа. Имеем:

Из трех неравенств к концу решения осталось только два. Потому что неравенство 2 ≥ 0 выполняется всегда. Пересечем оставшиеся неравенства:

Итак, x ∈ [−1,5; 0,5]. Все точки закрашены, поскольку неравенства нестрогие .

Задача. Решите неравенство:

Применяем теорему:

Решаем первое неравенство. Для этого раскроем квадрат разности. Имеем:

2x 2 − 18x + 16 < (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16 < x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x < 0;
x (x − 10) < 0;
x ∈ (0; 10).

Теперь решим второе неравенство. Там тоже квадратный трехчлен :

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪}